二重积分的几何意义(二重积分的几何意义是什么？)

二重积分有什么几何意义?

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。

二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

积分的线性性质：

性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）

性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外比较性：

性质3 如果在区域D上有f（x，y）≦g（x，y）估值性：性质4设M和m分别是函数f（x，y）在有界闭区域D上的更大值和最小值，σ为区域D的面积性质5如果在有界闭区域D上f（x，y）=k（k为常数），σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理：设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）。

求解 ***

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

其积分区域D是由所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。

（1）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数

（2）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数

（3）如果Ω与Ω’关于平面y=x对称

二重积分的几何意义是什么？

二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积。该几何体的底面显然是一个圆的内部（含圆的边界），该圆的表达式为x2+y2=32，即圆的圆心为（0，0），半径为3；几何体的高度为z=f（x，y）=|x2+y2-4|。

几何体的高度z为正值，但（x2+y2-4）在区域D内并非都是正值：只有在x2+y2>22这个圆的外部时，（x2+y2-4）>0而取正值；当在这个圆内部时，取负值。

所以原积分分解成为两个积分的和，就可以去掉绝对值符号：

原积分=∫∫(D1)（-x2-y2+4）dv+∫∫(D2)（x2+y2-4）dv，其中D1：x2+y2≤4；D2：4≤x2+y2≤9。然后利用极坐标积分的变换，就很容易求出积分的值了。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

二重积分的几何含义

二重积分∫∫f(x,y)dxdy的几何意义是曲顶柱体的体积，其中柱体的底为积分区域d，顶为z=f(x,y)确定的曲面

本题中z=(a^2-x^2-y^2)表示球体x^2+y^2+z^2=a^2的上半部分，底面时xoy平面上的x^2+y^2=a^2，根据几何意义，积分等于这上半球体的体积=2πa^3/3

二重积分的概念和几何意义

二重积分是数学中一种重要的积分形式，在多元函数分析和计算中有着广泛的应用。其基本概念是将二元函数在某个区域上进行积分运算，得到的结果表示在该区域上的一个定量的数值。它的本质是对区域上的函数进行求和，以求出该函数在给定区域上的积分值。在数学中，二重积分的几何意义是对平面区域进行的求和运算，其结果表示该区域的面积大小。具体来说，二重积分的概念是将一个二元函数f(x,y)在某个区域D上进行积分，公式为?Df(x,y)dxdy，其中dx和dy分别表示积分的自变量x和y的微小增量，之一重积分是在x轴上进行的积分，第二重积分是在y轴上进行的积分。在计算积分时，需要先将区域D进行分割，然后对每个小矩形内的函数值进行求和，最后将所有小矩形的和相加得到总的积分值。

从几何意义上来看，二重积分可以用于求解平面区域的面积或者质量分布。例如，在计算平面区域的面积时，可以将其分割成小矩形，然后对每个小矩形的面积进行求和，最终得到该区域的总面积。在计算平面区域的质量分布时，可以将其分割成小矩形，然后对每个小矩形的质量进行求和，最终得到该区域的总质量。

此外，二重积分还可以用于计算平面区域上的密度分布、物理场的通量等。例如，在计算平面区域上的密度分布时，可以将区域分割成小矩形，然后对每个小矩形内的密度值进行求和，最终得到该区域上的总密度。在计算物理场的通量时，可以将物理场在平面区域上进行积分，得到的结果表示该区域上物理场通量的大小。

综上所述，二重积分是数学中一种重要的积分形式，在多元函数分析、计算和物理学等领域具有广泛的应用。其几何意义为对平面区域进行的求和运算，其结果表示该区域的面积大小或者质量分布等。

二重积分几何意义做？

D域由y=√(1-x2)和y=0所围成，在平面直角坐标里，这是园心在原点半径r=1的园的上半部

份；在立体直角坐标里，这是在xoy平面里的园的右半部份。

被积函数z=√(1-x2+y2)是球心在原点，半径r=1的园球的上半部份。

二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/ 4球体的体积;

故I=(1/4)?(4/3)πr3=(1/3)π;

用二重积分验算一下：

二重积分的几何意义：

楼上解释错了。

1、本题的被积函数是一个顶点在原点的圆锥体，不是圆柱体。

2、如果被积函数的量纲是长度单位，则二重积分为体积；

3、如果被积函数的量纲是Pa，则二重积分的意义为计算总压力；

4、如果被积函数的量纲是kg/m2，则二重积分的意义就是算总质量；

5、如果被积函数的量纲是C/m2 ，则二重积分的意义就是算总电量；

、、、、、、

结论：

1、二重积分是否有意义，要看被积函数的量纲，由量纲决定是否有物理意义。

2、数学老师出题，一般不会考虑什么物理模型、量纲，一般均无明确意义。

3、对于数学老师随意出出来的二重积分题，笼统地讲是算体积，其实是错的。

4、被积函数如果是1，而且这个1不带任何单位，那二重积分就是算总面积。

5、只要被积函数不是1，一般来说，二重积分没有明确意义，只是乱积而已。

数学老师出出来的二重积分的题，一般都是为了练习、熟练积分而出的题，

不必认真，只是练习而已。如果你一旦认真起来，无论你的天赋多高，创

造力多强，无论数学老师多烂，都会骂你“钻牛角尖”，“脑子有问题”。天才

就当成了 *** 。

本题的解释：

1、因为本题的被积函数是圆锥体，假设x、y均有长度量纲，本题的被积函数

的意义是圆锥体上的任何一点，这一点到x-y平面的垂直高度；

2、这个高度乘以x-y平面上的微元面积dxdy，就是一个细高的立体体积，这个

细高立体的底面在x-y平面上，顶面在圆锥体的侧面上。

3、积分的结果就是圆锥体下方到x-y平面的立体体积。

4、这个体积正好等于以圆锥口为顶面，底面在x-y平面上的圆柱的体积，减去

圆锥的体积。也就是楼主题目所问的问题。

5、本题是特例，结果等于圆柱的体积减去圆锥的体积。一般情况下不是这样。

二重积分的几何意义是什么？怎么理解？

通俗明了地说，二重积分求的是体积。

我们知道，一重积分求的是面积，二重积分就是无数个单个面积的叠加，就是体积。