特征方程(微分方程的特征方程怎么求的)

特征根是什么，特征方程是什么

特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等

对应特征方程的根，便称为特征根

微分方程的特征方程怎么求的

二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；

2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；

3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。

最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

扩展资料：

特征方程

所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。

下面所介绍的仅仅是数列的特征方程

数列特征方程式.

一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)

设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]

∴X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn C1=s+r C2=-sr

消去s就导出特征方程式

∴r^2-C1*r-C2=0

线性递推

以线性递推数列通项求法为例，这里说明特征方程的应用。

一阶递推

关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：

对于数列 ,

设 ....①，

化简得 ，与原递推式比较，得 ，

将解得的t代入①即得等比数列 ，用等比数列通项即可得出原数列 。

二阶递推

对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：

对于数列 ，递推公式为 ，其特征方程为 即 ，

1、 若方程有两相异根 ，则

2、 若方程有两等根 ，则 ，

其中 可由初始条件确定，初始条件通常为a1与a2。

例：求斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...的通项公式[1]

线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1

解得X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

高阶递推

对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个 换成 ，就是它的特征方程。解出所有根后，进一步应用时还应注意重根的问题；其中当所有根 均相等时，以k阶为例，

最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的 *** 更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。

什么是特征方程

一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)

设r,s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]

所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn

C1=s+r

C2=-sr

消去s就导出特征方程式 r*r-C1*r-C2=0

特征方程用于求解特征向量.

矩阵的特征方程是什么?

特征方程等于：|λE-A|={[（λ+2），0,4]，[-1，λ-1，-1]，[-1,0，λ-3]}=0。

计算过程：

（λ-2）*（λ+2）*（λ-3）+4（λ-2）

=（λ-2）*[（λ+2）*（λ-3）+4]

=（λ-2）*[λ*λ-λ-2]

=（λ-2）*（λ-2）*（λ+1）

=（λ-2）^2*（λ+1）

所以说得出(λ-2)2(λ-1)=0进而求出特征值为-1，2（为二重特征根）。

性质：

若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

微分方程特征方程是什么

答案是A。

根据线性方程的叠加原理，原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和。

因为0不是特征方程的根，所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c。

因为±i是特征方程的单根，所以y''+y=sinx的特解设为x(Acosx+Bsinx)。

所以，原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(Acosx+Bsinx)。

简介：

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值 *** 可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。