高斯消元法(高斯消元法)

高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组如下：

高斯消元法，是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。要对矩阵执行行缩减，可以使用一系列基本行操作修改矩阵，直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。

基本行操作有三种类型:

交换两行

将一行乘以一个非零数字

将一行的倍数添加到另一行

运用以上 *** 作，一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵，实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1，并且包含主系数的每一列在其他地方都为零，这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说，它与所使用的行操作序列无关。

例如，在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算)，第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵，最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。

举例：

假设目标是找到并描述下列线性方程组的解集:

下表是同时应用于方程组及其增广矩阵的行约简过程。在实践中，人们通常不使用方程来处理系统，而是使用增广矩阵，它更适合于计算机操作。行约简过程可以总结为:从L1以下的所有方程中消去x，再从L2以下的所有方程中消去y。这将使方程组变成三角形。然后，用反代换法求解每个未知数。

一旦y也从第三行中删除，结果是三角形形式的线性方程组，因此算法的之一部分完成。从计算的角度来看，以相反的顺序求解变量更快，这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z= 1,y= 3，和x= 2。所以原始方程组有唯一的解。

第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以之一步x从...中消除L2通过添加 3 / 2 L一到L2。接下来，x从...中消除L3通过添加L一到L3。

高斯消元法

对一个线性方程组，比如：

现在我们想要解这个线性方程组，我们能做的是其中一个式子乘以一个数，与另一个式子相减，消去一个变量，重复上述步骤再消去另一个变量。这种解方程组的方式初中就已经学过，它被称为“消元”。

比如对于上边的方程组，（1）+（2），消去变量 ,得到新的方程 。再用新方程乘以5，再减去（3）式得到只含有x_3的式子 。解得 。再回代 解得 。

这个过程很简单，但想一想我们在消元的过程中做了哪些工作：

我们把以上三种变换称为 初等行变换 ,可以看出初等行变换不影响方程组的解集。

接下来，我们将方程组的系数提取出来，并按照原来的位置放进之一个方框中，并在第二个方框中放入方程组右侧的常量。

我们把这种一堆数加一个方框的列表称为矩阵。对于求解线性方程组而言我们更喜欢增广矩阵的形式。考虑如果我们把矩阵的每一行看作一个方程，我们对这些行做初等行变换，根据我们所作的初等行变换的次数和方式，我们会得到许多新的矩阵，而这些矩阵和原矩阵必然有着相同的解集。

因此我们说如果一个矩阵经过了若干次初等行变换变为了另一个矩阵，我们就称这两个矩阵是行等价的。行等价的矩阵具有完全相同的解集。

这样一来，对方程组进行消元就转换为了对矩阵进行消元。在处理及其大的方程组和解存与唯一性问题上，矩阵消元法远比传统的解方程组方便的多。

通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯型矩阵的形式：

是阶梯型矩阵每一行的先导元素，我们称之为 主元 ，主元所在的列称为 主列 ,主元不在的列称为 自由列 。主列对应的变量称为 基本变量 ，自由列对应的变量称为 自由变量。

接下来我们通过初等行变换把 主元位置的元素化为1，把主列中除主元外其他元素化为0 。得到的矩阵称为简化行阶梯型矩阵。

有简化行阶梯型矩阵我们得知：

解得：

这个解称为解的显式表达，只要两个自由变量得值确定，方程组的解就确定。因为存在了自由变量，所以这方程有无数个解。

对于方程组：

我们有另外两种表达：

矩阵方程 ：

向量方程：

可以看出，矩阵与向量的乘积，是以X中元素为权的A中列向量的线性组合。

向量的运算

对于方程的显式解：

我们可以写为以自由变 为权的线性组合

什么是高斯消去法

高斯消去法，又称高斯消元法实际上就是我们俗称的加减消元法

数学上，高斯消去法或称高斯约当消去法，由高斯和约当得名它是线性代数中的一个算法

用于决定线性方程组的解，以及决定可逆方矩阵的逆？当用于一个矩阵时，高斯消去产生“形消去梯形形式”

什么是全选主元高斯消元法

就是主列消元 比如就是选择一列中绝对值更大的元素 然后用它把下面的数消掉 比如说 1 1 1 1

2 1 1 1

3 1 1 1

4 1 1 1

你就把第四行与之一行交换 然后 用之一行的4把下面的1,2,3消为零

初中高斯消元法

题目不清楚啊,是7×3阶矩阵?

其实高斯消元法就是初中,高中解方程组的 *** ,只是该 *** 更系统,有顺序,从而避免了向高中那样,出现重复（不知道你高中有没有这样的经历,解方程组时几个方程很混乱,自己虽感觉用了不同的方程,但结果却与前面推出的一个方程一样.这就是重复了,高斯消元法就是让你不重复）

高斯消元法怎么快速

使用方程组

高斯消元法可以使用方程组加减消元，消去未知数来快速运算

高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解