正交矩阵(什么是正交矩阵)

什么是正交矩阵？

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。

实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

矩阵性质：

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。

任何正交矩阵的行列式是+1或?1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

什么是正交矩阵

什么是正交矩阵如下：

定义

编辑播报

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件[2][3]:

1)AT是正交矩阵

2)（E为单位矩阵）

3)AT的各行是单位向量且两两正交

4)AT的各列是单位向量且两两正交

5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩阵通常用字母Q表示。

(9)举例：

若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有：

定理

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4.A的列向量组也是正交单位向量组。

5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

矩阵相互正交是什么意思？

应该是两个向量正交

两个向量正交是指它们的内积等于零.

两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和

什么是正交矩阵举个例子,说明特征,不要定义.

如果：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵

例如举一个最简单的例子

1

0

1

0

矩阵A：0

1

A的转置：0

1

此时

AA'=E

故A本身是正交矩阵

由于AA'=E

由逆矩阵定义

若AB=E

则B为A的逆矩阵

可以知道

A'为A的逆矩阵

也就是说正交矩阵本身必然是可逆矩阵

即

若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】