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无穷级数(什么叫无穷级数？)

2023-05-27 20:29:32综合资讯1

无穷级数的概念和性质是啥?

概念：无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的 *** ，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和 *** ，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数 *** 求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

性质：

级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

若有一个无穷级数

：每一项乘以一个常数a，则其和等于as。即

收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：

和

，则

级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如：

和

这两个级数的收敛性是一样的，但极限值不一定相等。

收敛级数加括号后形成的新级数也收敛，并且其和就是原级数的和。（注：加括号后收敛的级数，原级数不一定收敛，比如

。若加括号后的级数发散，原级数必发散。）

如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。

什么叫无穷级数？

无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的 *** ，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数 *** 求和。包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数）。

如假定有一个无穷数列：

u1,u2,u3,...un,...

其前n项的和为：

sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

由此得出另一个无穷数列：

s1,s2,s3,...sn,...

它是由上一个无穷数列持续相加造成的。

例如，如果u是任意的：

u1=1，u2=3，u3=5，...un ...

但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的：

s1=1，s2=4，s3=9，...sn，...

当n无限增加时，sn趋向一个极限

如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。

s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...

高等数学——无穷级数

一般的，如果给定一个数列

则由这数列构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为，即

其中第项叫做级数的一般项。

作（常数项）级数的前项的和

称为级数的部分和，当依次取时，它们构成一个新的数列

如果级数的部分和数列有极限，即

称无穷级数收敛，这时极限叫做这级数的和，并写成

如果没有极限，则称无穷级数发散。

显然当级数收敛时，其部分和是级数的和的近似值，它们之间的差值

叫做级数的余项，用近似值代替和所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是。

性质 1 如果级数收敛于和，则级数也收敛，且其和为。

结论：级数的每一项同乘以一个常数后，它的收敛性不会改变。

性质 2 如果级数、收敛于和，则级数也收敛，且其和为

结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。

性质 4 如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数

仍收敛，且其和不变。

推论如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

性质 5（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即

柯西审敛原理级数收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，对于任意的正整数，都有

定理 1 正向级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界（各项均为正数或零的级数称为正向级数）。

定理 2（比较审敛法）设和都是正向级数，且，若级数收敛，则级数收敛，若级数发散，则级数发散。

推论设和都是正向级数，如果级数收敛，且存在正整数，使当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。

定理 3（比较审敛法的极限形式）设和都是正向级数，

(1) 如果，且级数收敛，则级数收敛；

(2) 如果或，且级数发散，则级数发散。

定理 4（比值审敛法达朗贝尔判别法）设为正向级数，如果

则当时级数收敛，时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。

定理 5（根值审敛法柯西判别法）设为正向级数，如果

则当时级数收敛，时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。

定理 6（极限审敛法）设为正向级数，

(1) 如果，则级数发散。

(2) 如果，而，则级数收敛。

定理 7（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件：

(1) ；

(2)

则级数收敛，且其和，其余项的绝对值。

（交错级数的各项是正负交错的）

绝对收敛与条件收敛如果级数各项的绝对值所构成的正向级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛。

定理 8 级数绝对收敛，则级数必定收敛。

定理 9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）。

定理 10（绝对收敛级数的乘法）设和都绝对收敛，其和分别为和，则它们的柯西乘积

也是绝对收敛的，且其和为。

如果给定一个定义在区间上的一个函数列

则由这函数列构成的表达式

称为定义在区间上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

在收敛域上，函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数，并写成

各项都是幂函数的函数项级数称为幂级数，它的形式是

其中常数叫做幂级数的系数。

定理 1 如果幂级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散。

推论如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的存在，使得

当时，幂级数绝对收敛；

当时，幂级数发散；

当时，幂级数可能收敛也可能发散。

正数通常叫做幂级数的收敛半径，开区间叫做幂级数的收敛区间。

定理 2 如果

其中、是幂级数相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径

性质 1 幂级数的和函数在其收敛域上连续。

性质 2 幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质 3 幂级数的和函数在其收敛区间上可导，并有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

假设函数在点的领域内能展开成幂级数，即有

根据和函数的性质可知，在内具有任意阶导数，且

由此可得

于是

这就说明，如果函数有幂级数展开式，那么该幂级数的系数由公式确定，即该幂级数必为

而展开式必为

幂级数叫做函数在点处的泰勒级数，展开式叫做函数在点处的泰勒展开式。

定理设函数在点的领域内具有各阶导数，则在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内的泰勒公式中的余项当的极限为零，即

当时，在式中，取，得

级数称为函数的麦克劳林级数，如果能在内展开成的幂级数，则有

式称为函数的麦克劳林展开式。

常用的幂级数展开式

对式两边从到积分，可得

对式两边求导，即得

把式中换成，可得

对上式从到积分，可得

二项展开式

设是周期为的周期函数，且能开展称三角级数

其中

如果中的积分都存在，这时他们定出的系数叫做函数的傅里叶系数，将这些系数代入式右端，所得的三角级数

做函数的傅里叶级数。

当为奇函数时，是奇函数，是偶函数，故

即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

当为偶函数时，是偶函数，是奇函数，故

即偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设是周期为的周期函数，如果它满足

(1) 在一个周期内连续或只有有限个之一类间断点，

(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，

则的傅里叶级数收敛，并且

(1) 当是的连续点时，级数收敛于；

(2) 当是的间断点时，级数收敛于

定理设周期为的周期函数

无穷级数有哪些公式？

无穷级数常见6个公式是ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+...。

x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理）-1<x<1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+。

正项级数及其敛散性：

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

以上内容参考：百度百科-无穷级数

无穷级数常见6个公式是什么？

无穷级数常见6个公式是1除1减x等于∑x^n减1，1除1加K，1除1加K^n。这是公比为q等于x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用其中要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和。

无穷级数常见6个公式特点

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的 *** ，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别，只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和，算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和有些数列可以用无穷级数 *** 求和。

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列，而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

无穷级数（一）

引言

直到今天，无穷级数仍被认为是微积分的一部分，因为一开始人们处理复杂函数时，是先展开成无穷级数再逐项微分或积分。18世纪的数学家大量使用无穷级数，尽管他们没意识到其中存在的问题。

无穷级数的早期工作

无穷级数很早就出现了，例如亚里士多德就意识到公比小于1的无穷几何级数存在一定的和。中世纪后期的数学家也用过无穷级数计算变速物体的运动距离。韦达在1593年给出了一个无穷几何级数的求和公式，1647年Gregory of Saint-Vincent证明阿喀琉斯追龟的悖论可用无穷几何级数求和解决，和是有限的，因此阿喀琉斯可以在一个确定的时间、地点追到乌龟，他之一次指出无穷级数表示一个数（级数和），他称这个数为级数的极限。

牛顿等人给出了sinx,cosx,arcsinx,tgx,secx的级数，用级数研究超越函数是牛顿和莱布尼茨微积分工作的一个重要部分。这些人为了得到级数，也不管这样处理会有啥问题，也没有证明二项式定理。

除了微积分外，级数还用来求一些特殊的量，如π和e，但有的级数收敛很慢，对计算没有任何帮助，如莱布尼茨1674年得到：π/4=1-1/3+1/5-1/7……如果要用来计算π，算到阿基米德计算的精度都要算足足十万项，因此18世纪有很多人研究把级数变换成另一个收敛较快的级数，欧拉也给过一个变换。

牛顿发明了级数的一个应用。给定隐函数f(x,y)=0，把y表示成x的显函数，可能会有好几个显函数解，每个y都要表示成x的无穷级数。牛顿在《流数法》中发表了决定显函数解级数形式的 *** ，事实上牛顿只给出了一些特殊例子求级数的前几个指数和系数。泰勒、斯特林、麦克劳林均给出了一些法则，麦克劳林还试图推广、证明这些法则，但未成功。

函数的展开

17世纪后期到18世纪，航海、天文、地理学的发展要求三角函数、对数函数、航海表的插值有较大精确度。沃利斯提出了插值一词，插值的常用 *** 是线性插值法：假设在两个已知值之间，函数是自变量的线性函数，但问题是函数往往是非线性的，推动数学家去研究更好的插值法。

有限差 *** 由布里格斯引入，关键公式由詹姆斯格雷果里给出，牛顿也独立给出该公式。假设f(x)是一个函数，在a,a+c,a+2c,....,a+nc上的值已知，则有：

要计算任意x处的值，只需要让h=x-a，这样计算的未必是函数真值，而是一个多项式的值，在特殊点a,a+c,a+2c,....,a+nc上的值和函数真值相同。这个公式还可以用来逼近积分。

泰勒将这个公式推广用于展开函数成无穷级数，因为泰勒是英国人，发表定理的时候还赞美了下牛顿，无视了莱布尼茨也做过相关研究（前文说过牛莱引发了两岸矛盾）。格雷果里和莱布尼茨都发现过这个定理，但是都没发表；约翰伯努利发表过，但没有被泰勒引用（搞研究也要点运气，你也不知道啥东西会被写进几百年后的教科书）。泰勒的做法相当于把c变成Δx，然后就是我们熟悉的泰勒公式：

a=0时就是麦克劳林公式，不知怎么给他白拣到了，斯特林也给出了这个特殊情形，但是啥也没捞着。他们都没有考虑收敛问题，反正能用就行。